Was ist die Standardabweichung ?

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß für die Abweichung einer (Mess)Größe von ihrem Erwartungswert, das könnte beispielsweise ein Mittelwert sein. In der Regel bezieht man sich hier auf den arithmetischen Mittelwert.

Zum Beispiel will man die radioaktive Belastung an einem Ort in der Nähe von Fukushima wissen. Es macht dann keinen Sinn, die radioaktive Strahlung einmal zu messen. Eine zufällige Windböe könnte gerade einen Schwall von Teilchen transportiert und damit den Messwert nach oben getrieben haben.

Bei Messungen erforderlich ist sehr oft ein “Monitoring“, also die Registrierung einer Messreihe, sagen wir über 24 Stunden, wobei vielleicht alle 10 Minuten ein Messwert notiert wird. Bei diesem Beispiel würden sich also 144 Messwerte über den Tag ergeben, die alle irgendwie um ihren Mittelwert herum schwanken. Die Standardabweichung beschreibt dann anschaulich die durchschnittliche Abweichung aller Messwerte von ihrem Mittel- oder Erwartungswert.

Die Standardabweichung beschreibt die durchschnittliche Abweichung aller Messwerte von ihrem Mittelwert.

Die Standardabweichung beschreibt die durchschnittliche Abweichung aller Messwerte von ihrem Mittelwert.

Grundlage der mathematischen Definition der Standardabweichung Sigma ist zunächst eine andere statistische Größe: die Varianz [Var(x) oder Sigma^2].
Wie der Name schon sagt, geht es auch hier um die “Variabilität” von Werten:
Die Varianz ist die Summe aller quadrierten Differenzen zwischen dem jeweiligen, einzelnen Messwert und dem Mittelwert, dividiert durch die Anzahl der betrachteten Messwerte vermindert um 1.

Die Quadrierung ist hier wichtig, um in jedem Fall einen positiven Wert zu erhalten, denn man möchte ja auf einen durchschnittlichen Abstand hinaus, und ein Abstand ist nun einmal positiv. Der Nachteil bei der Definition der Varianz ist ihre z.T. unanschauliche physikalische Dimension. Handelt es sich beispielsweise um die Betrachtung von Temperaturwerten, dann würde die Varianz die physikalische Maßeinheit °C^2 haben.

Auch aus diesem Grunde arbeiten viele Wissenschaftler lieber mit der Standardabweichung, die als die Quadratwurzel der Varianz definiert ist. Dieser durchschnittliche Abstand der Messwerte von ihrem Mittelwert ist von derselben physikalischen Dimension, wie die einzelnen Messwerte selbst. Zum Abschluss und besseren Verständnis noch ein einfaches Beispiel dazu:

Wir berechnen die Standardabweichung des Alters in einer 6-köpfigen Schülergruppe.

  • Die einzelnen Alterswerte (in Jahren) sind: 10, 11, 12, 10, 9, 11.
  • Arithmetischer Mittelwert: 10,5 Jahre
  • Die Liste der quadrierten Differenzen zum Mittelwert: 0.25; 0.25, 2.25; 0.25; 2.25; 0.25
  • Varianz = Summe der quadrierten Differenzen zum Mittelwert dividiert durch 5 = 1.1 Jahre^2
  • Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz = 1.03 Jahre

[Anmerkung: man hätte hier natürlich auch die Abstände der Alterswerte zum Mittelwert betrachten können und davon den Durchschnitt bilden; das logische und auch anschauliche Ergebnis wäre dann: 0.83 Jahre, aber die smarten Wissenschaftler mögen's meistens etwas komplizierter.]

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