Standardabweichung berechnen

Bei der Fehlerrechnung ist die Standardabweichung ein wichtiger Begriff. Neben dem Mittelwert und der Gauß‘ schen Fehlerfortpflanzung ist die Standardabweichung der wichtigste Wert der Fehlerrechnung. Wenn man die Standardabweichung berechnen will, ist es wichtig, zu wissen was die Standardabweichung überhaupt ist.

Die Standardabweichung gibt es in zwei verschiedenen Zusammenhängen in der Mechanik. Aber auch bei anderen Bereichen, in denen Messungen erfolgen, gibt es Bereiche, in denen man die Standardabweichung berechnen muss. Dabei handelt es sich um die Standardabweichung der Messung.

Wenn man die Standardabweichung berechnen muss, handelt es sich meisten um die Standardabweichung des Mittelwerts. Diesen kann man genau angeben und mit einer Formel bestimmen. Für diese Formel werden die Anzahl der Messungen und die Standardabweichung der Messung benötigt. Deswegen wird in diesem Text zuerst auf die Standardabweichung der Messung eingegangen und wie man diese ermittelt. Ohne diesen Wert kann man nämlich die Standardabweichung des Mittelwerts nicht bestimmen.

Wenn man die Standardabweichung berechnen muss, rechnet man also als erstes die der Messung aus. Dafür benötigt man die Anzahl der Messungen, den Mittelwert und die einzelnen Messwerte. Der Mittelwert gibt den durchschnittlichen Wert der Messung an, dafür wird die Summe der einzelnen Messwerte durch die Anzahl der Messungen geteilt. Ein ganz simples Beispiel ist eine Messung mit zwei Messwerten, beispielsweise zwei und drei. Dann ist der Mittelwert 2,5, da (2+3) / 2 = 2,5 ist.

Wenn man nun die Standardabweichung berechnen muss, sucht man sich die Formel für die Standardabweichung der Messung raus. Die Formel lautet:
Standardabweichung der Messung = Wurzel aus (Summe(Messwert – Mittelwert)² / Anzahl der Messungen – 1)

Je mehr Messungen man gemacht hat, desto genauer ist der Wert. Allerdings ist der Rechenaufwand dann auch viel höher, was an der Summe in der Formel liegt. Mit ein wenig Übung sollte man diese Formel relativ schnell anwenden können. Technische Hilfsmittel wie Excel oder ein einfacher Taschenrechner sind dabei sehr hilfreich.

Nun kann man die andere Standardabweichung berechnen, die Standardabweichung des Mittelwerts. Dieser Wert wird am häufigsten im Alltag gebraucht, so kann man zum Beispiel ermitteln, wie sehr ein Produkt vom Mittelwert abweicht und muss gegebenenfalls die Maschinen genauer einstellen. Die Standardabweichung des Mittelwerts lässt sich aus folgender Formel herleiten:
Standardabweichung des Mittelwerts = Standardabweichung der Messung / Wurzel aus (Anzahl der Messungen)

Man benötigt also auch wenn man diese relative Standardabweichung berechnen will, die Anzahl der Messungen. Diese muss aber eh gegeben sein, da man sonst nicht die messungsabhängige Standardabweichung berechnen kann.

In der Wirtschaft muss man also häufig Standardabweichungen berechnen, so kann man erfahren, wie genau die Maschinen arbeiten. Das ist besonders wichtig, wenn man exakte Produkte braucht. Zum Beispiel in der Nanotechnologie, dort werden sehr genaue Produkte benötigt.

Die Anwendung der Formeln sollte nach einer gewissen Übung auch keine großen Probleme darstellen.

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